陣取りゲーム

問題はこちら
http://www.hyuki.com/d/200610.html#i20061009222222

それなんてポリオミノタイリング？とか思ったが(意外にも)必勝法は存在した。不可逆に減るだけでいったん独立したタイルがまた繋がったりしない故？以下、解だったり考察だったり。

初手天元+点対称打ちでodd*oddは先手必勝。同様にeven*oddも先手必勝。even*evenは点対称打ちで後手必勝。

3*3トーラスは初手天元で先手必勝。が原理不明。点対称に打ってると先手が負けることがある。

先に円筒型を考えるとループ方向にevenなら縦方向が(横がループ方向としてね)evenでもoddでも後手必勝。常に初手の円筒の裏側の手を打つだけ。
ループ方向にoddで縦方向がevenの時は初手必勝。中央に縦2マスを初手が取って後は対称に取っていけばよい。
よくわからないのがループ方向縦方向ともにoddの時。主戦場はたぶん、m*1(mを縦方向の長さとして)とその円筒のほぼ裏側にあるm*2の長方形。この2つを舞台に陣取りゲームをして勝ったほうが全体でも勝つ。基本的には。一般には円筒の裏側にある二つの領域の両方で同時に1手で勝つのは無理なので(だから、3*3はたぶん、ちょっと、変)基本戦略は両方共を必敗の形にして相手に渡すことになりましょう。相手がどちらかの領域で勝ってしまえば、残ったもう1つの領域で勝てるので。
問題はその主戦場の領域からはみ出して対称を崩す手を取ってきたとき。単に対称を崩す手、勝ちつつ対称を崩す手、負けつつ対称を崩す手のそれぞれへの応手のまとめ方把握の仕方がうーん。

といったところでダイアリを見て回っていると、itaさんがトーラスで見通しのよさげな解を書かれている。
http://d.hatena.ne.jp/ita/20061012/p1#c
これを流用して書かせていただけば、初手1に対して

□	□	A	□	□
□	□	□	□	□
B	□	1	□	B
□	□	□	□	□
□	□	A	□	□

後手が

□	□	g	□	□
□	□	g	□	□
B	□	1	□	B
□	□	□	□	□
□	□	A	□	□

のように応じてきたときの対応をどうするかという問題。